Se aspetto troppo a metterlo in rete rischio di ... non completarlo
comunque e neppure di divulgarlo... dunque comincio a mettere in rete questo
abbozzo, magari pieno di insidiosi errori...
Il mio obbiettivo è di SEMPLIFICARE L'USO DEL CALCOLO TENSORIALE
adattandolo alle esigenze dell' HTML e dei linguaggi di programmazione
più noti ed usati ( ma solo quelli di cui ho un po' pratica non
perduta per il mio decadimento cerebrale ovvero rimbecillimento senile... e benvenga
chi volesse tradurre queste funzioni scritte in Javascript in altri
linguaggi più professionali ed usati nel calcolo
intensivo ovvero nel supercalcolo fattibile,
per esempio con le macchine del http://www.cilea.it )
Io stesso ho in programma di tradurre le regole e le funzioni
in Maximese ( vedere http://www.elegio.it/max ) ed in Mathematichese
( vedere http://www.elegio.it/cdf/ ) anche se parecchie funzioni
di calcolo tensoriale sono già disponibili. In quel caso mi limiterei
soltanto a fare interfacce tra le mie funzioni ( quelle che piacciono a me )
e quelle disponibili nei vari ambienti di calcolo in modo che sia facile tradurre
funzioni di calcolo tensoriale complicate molto più di queste che vorrei che
fossero quelle assolutamente preliminari.
Naturalmente il primo utilizzatore delle mie funzioni di calcolo
tensoriale sono io_me e SOGNO di fare o rifare grandi cose e dimostrazioni
almeno numeriche.
Il primo e più facile obbiettivo è difendere il
calunniato Albert Einstein che, anche se varie cose le ha scopiazzate senza
dire da chi, come è tradizione anche in Fisica e Matematica... ha proposto un
modello ROBUSTISSIMO anche se ovviamente parziale della realtà fisica.
Mi ha fatto piacere leggere le pagine dedicate alle verifiche sperimentali
della Relatività Generale ( http://it.wikipedia.org/wiki/Prove_della_relativit%E0_generale )
anche se, prima o poi, spero che saltino
fuori vistosi difetti, magari solo computazionali, che permettano di sostenere
come migliori altri modelli, magari operativamente simili
ma più facili da usare in pratica...
Altri obbiettivi più ambiziosi ma, a mio parere, proporzionati
alle mie, pur modeste, capacità sono il dimostrare CHE I BUCHI NERI
NON ESISTONO o che, almeno, esistono dall'inizio della CREAZIONE DELL'UNIVERSO
e, quelli che esistono, non possono che agire come singolarità
catalizzatrici di quegli ammassi enormi di materia considerati buchi neri
ma in realtà COAGULI ( http://it.wikipedia.org/wiki/Buco_nero_supermassiccio )
di materia fermionica attorno a buchi neri
nati contemporaneamente con la nascita dell'Universo
Ecco cosa ha scritto P.A.M.Dirac quando doveva passare il tempo
spiegando anche la R.G.
Senza tirare in ballo nessuna formula ma appoggiandomi a quello che
Dirac ( 1902-1984) ridotto, forse in MISERIA, a fare il professore probabilmente
sottopagato, mise in evidenza nel febbraio 1975 a Tallahassee, Florida e
ripubblicato nel 1996
da pup.princeton.edusuggerisco
questo problema.
Immaginiamo due buchi neri neutri ossia descritti dalla
metrica di quel bel baffone di Schwarzschild IDENTICI che si muovono per scontrarsi
nell'origine delle coordinate cartesiane sempre più perturbate ma in modo perfettamente
simmetrico dai due buchi neri che ESATTAMENTE dovrebbero scontrarsi e fondersi nell'origine.
Supponiamo che proprio nell'origine si trovi un atomo di elio 4 simmetricamente
attirato in direzioni perfettamente opposte dai due buchi neri che come giganteschi
treni si scontreranno proprio dove sta lui, nell'origine. Gli osservatori... ad un anno luce
di distanza stanno a guardare il catastrofico scontro e aspettano di vedere inghiottito
il povero atomo di elio che, come una gallina spaventata, non si sposta e non può
spostarsi perché i due buchi neri lo tirano in modo simmetrico verso di loro
e dunque lo tengono fermissimamente fermo nell'origine dove sta....
Ma se Dirac l'ha detta giusta, ogni particella di massa trascurabile
impiega un tempo infinito ( misurato da un osservatore non disturbato dai buchi neri
in movimento ) QUINDI QUANTO TEMPO BISOGNEREBBE ASPETTARE LA FUSIONE DEI DUE ORIZZONTI
GRAVITAZIONALI ? INFINITO SE DIRAC NON MENTE PER LA GOLA ! E dunque, per me noi
possiamo vedere solo COAGULI DI MATERIA SEMPRE PIU' DENSA CHE SI SFORZA DI
PENETRARE, DOPO PIU' DI MILIONI DI MILIONI DI ANNI NEL BUCO NERO
NATO QUANDO LA LUCE FU' COME E' DETTO poeticamente NELLA GENESI
http://www.vatican.va/archive/bible/genesis/documents/bible_genesis_it.html...
Se SBAGLIO CORRIGGETEMI ma, dato che ho solo SPERANZA e POCA FEDE, fatemi
credere con belle formule che io riesca un po' a capire... Forse sono
un San Tommaso Reincarnato !
http://www.elegio.it/doc/tn/lumodulare.html Contiene la funzione
per risolvere sistemi sia in virgola mobile che in
algebra modulare ( sfruttando l'algoritmo di
Euclide per il calcolo dell'inverso modulare di un numero
intero )
Per esempio: Scrivere qualcosa e cliccarci sopra
. Qui ho definito
prima la funzione potenza(a,b) che dunque posso usare...
...
Come dedurre una permutazione da una stringa di caratteri
qualsiasi.
Innanzi tutto va scelto quale è il primo dei simboli usati
mentre i seguenti sono i consecutivi
nella tabella Unicode e quanti sono
i caratteri che rappresentano simboli diversi.
Ad esempio il primo simbolo usato potrebbe essere "1"
oppure "A" oppure "a" ma nulla vieta di usare
simboli greci partendo dal carattere alfa "α"
o partendo dall'alef ebraica, in Unicode il carattere 64289
ossia "ﬡ" (
http://it.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_ebraico )
o quello arabo partendo dal carattere 1575 "ا" ,
"ب", "ة", "ت", "ت" che scopro che
il browser scrive in ordine inverso e strano
☺.
...
...
Notare che la funzione usata fornisce anche il segno della
permutazione ossia il segno del corrispondente
elemento del simbolo di Levi Civita
( http://it.wikipedia.org/wiki/Simbolo_di_Levi-Civita ) e,
in sintesi, ricordo che il simbolo di Levi-Civita
è un vero tensore se il valore assoluto del determiante
del tensore metrico ( una matrice di funzioni delle coordinate ) a cui
si riferisce, vale 1 e ricordo che il rango di questo tensore
è uguale al numero di dimensioni dello
spazio a cui si riferisce per cui in Relatività Speciale
e in Relatività Generale, dove l'ordine del tensore
metrico è 4, il rango del simbolo di Levi Civita, vero
tensore se il tensore metrico ha valore assoluto del suo determinante
uguale ad 1, ha rango 4 ossia possiede 256 elementi, molti dei quali
di valore zero.
In Javascript uso questa funzione:
var inipermuta="1"; //quindi usa le cifre decimali.
function ossiapermuta(sv,diversi){
var j,k,kk,n,nn,ss=sv,vs=[],vp=[];
n=inipermuta.charCodeAt(0);
vp[0]="( carattere iniziale '"+
String.fromCharCode(n)+"' )";
nn=diversi-n%diversi;
for(j=0;diversi>j;j++){ss+=inipermuta;
vs[j]=true;}
for(j=0;diversi>j;j++){
n=(nn+ss.charCodeAt(j))%diversi;
if(vs[n]){vp[j+1]=n+1;vs[n]=false;}
else{ vp[j+1]=-1;
for(k=n+1;diversi+n>k;k++){
kk=k%diversi;
if(vs[kk]){vp[j+1]=kk+1;
vs[kk]=false;break;}}}}
for(j=1;diversi>=j;j++)vs[j]=vp[j];
n=1;for(j=1;diversi>=j;j++){
if(vs[j]!=j)for(k=1;diversi>=k;k++){
if(vs[k]==j){vs[k]=vs[j];
vs[j]=j;n=-n;break;}}}
return ["LeviCivita \u03b5 : ",n,vp];
}
Caratteristiche del tensore dedotte dalla sua lista di memorizzazione
Definisco qui una regola, un po' sperperosa di memoria,
che consente di definire le due
fondamentali caratteristiche di un tensore ossia il suo
ordine, ovvero la dimensione dello spazio a cui si riferisce,
e il suo rango, ovvero l'esponente dell'ordine che permette
di esprimere ( ordinerango )
il numero massimo di elementi indipendenti
del tensore.
Fino a pochi anni fa era importantissimo economizzare
la memoria del calcolatore perché la memoria era poca, espressa addirittura
da pochi milioni di byte ovvero ottetti di bit.
L'esigenza rimane se si debbono trattare problemi di enorme
complessità magari dovendo ricorre a supercalcolatori o
se si vuole affrontare un problema impegnativo pur
avendo a disposizione poche risorse ossia calcolatori
datati o poco costosi. Tuttavia ormai la memoria disponibile
è enorme e consente un suo ragionevole sperpero usato
per semplificare i programmi di calcolo e/o renderli meno esposti
ad errori di programmazione.
In mindimor il primo
argomento rappresenta la base ovvero l'ordine del tensore e il secondo
rappresenta il rango ed il risultato è la lunghezza minima
della lista necessaria per memorizzare il tensore.
...
In sintesi considerando le basi di uso
più frequente ossia 2,3 e 4 ed i ranghi più usati ossia lo 0 ovvero
quello dello scalare, 1 ossia quello dei vettori, 2 ossia quello delle matrici,
3 ossia quello dei simboli di connessione, 4 ossia il tensore di curvatura...
ordine\rango
0
1
2
3
4
5
2
2
3,4
6,8
12,16,20
24,32,40,56
48,60,64..
3
2
5
10,14
28,36,44,52..
88,104,..
272,304,..
4
2
7
18,22
68,76,84,..
264,280,..
1040,1072,..
5
2
9
26,30,34
132,140,..
632,648,..
3152,3184,..
6
2
11
38,42,46
220,228,..
1304,1320,..
7792,7284,..
In pratica si opera in questo modo basandosi sul fatto che ogni
intero è fattorizzabile in un unico modo in una sequenza di primi
ordinati in ordine crescente ed elevati, ciascuno ad un suo
personale esponente. Tra tutti i numeri primi ha un carattere
speciale il numero 2 che è il più piccolo dei primi.
Attribuisco all'esponente del due un ruolo speciale... :
La potenza di due intera
e positiva per la quale è esattamente divisibile la lunghezza
della lista rappresenta il rango del tensore diminuito di una unità.
Se la lunghezza della lista è esattamente una potenza di 2,
l'ordine del tensore è 2 e il rango del tensore è
l'esponente di 2 che permette di ottenere
mezza lunghezza della lista ossia l'esponente di 2 diminuito di uno.
Notare però che una pura potenza di 2 è ammessa
come lunghezza di una lista ma non è una lunghezza ottimale
ossia minima per quel tensore di dato ordine e rango !
Se la lunghezza della lista è un numero dispari
il rango è 1 ossia il tensore è un vettore e l'ordine
è la lunghezza della lista aumentata di 1 e divisa per due.
Se la lunghezza della lista non è esattamente una potenza di 2,
il maggiore intero che elevato al rango approssima per difetto la
lunghezza della lista rappresenta l'ordine del
tensore ossia il numero di dimensioni del suo spazio di definizione.
Notare che l'ordine può essere un potenza di 2, come ad esempio 4,
perché, anche se divisibile per due, è determinato
dai fattori primi dispari della lunghezza della lista.
Data questa regola ci si potrebbe domandare se l'attribuzione di
un ruolo particolare al numero 2 è una scelta arbitraria o
se è una scelta obbligata. Si tratta di una scelta resa obbligatoria
dalla ultima regola ossia usare come ordine del tensore l'intero che,
elevato al rango del tensore, approssima meglio per difetto la lunghezza
della lista.
In effetti sarebbe possibile usare 3 come primo usato per
memorizzare il rango ma... l'uso di 3 richiede, per tensori
di rango maggiore di 1, l'uso di liste più lunghe di
quelle necessarie quando si usa 2.
Per primi grossi, poi, ossia da 5 in su, si ha, oltre
ad un forte spreco di memoria, anche l'impossibilità
di definire la lunghezza di alcuni tipi di tensori e dunque
l'uso di primi diversi da 2 e da 3 non è assolutamente possibile.
Insomma, l'uso di 2 rappresenta la scelta ottimale.
Nella kebaserango
l'unico argomento rappresenta la lunghezza della lista da cui si vuole dedurre la
base ossia l'ordine del tensore, ed il rango del tensore. Se la lunghezza
della lista non fosse la minima necessaria viene stampata
anche la lunghezza minima per memorizzare il tensore
di quella stessa base e rango.
...
Ecco una sequenza della traduzione delle lunghezze pari della lista; quelle
dispari individuano vettori ossia tensori di rango 1 e dunque
il dedurre l'ordine è banale.
Notare che l'unica lista che individua uno scalare è quella
lunga 2 per cui, anche nel caso di uno scalare si ha a disposizione
un elemento usabile per info sulla natura dello scalare.
...
ATTENZIONE ! ... Javascript non attivato...
Per usare questo documento di studio bisogna farlo funzionare !...
La critica a questo metodo è che spreca un po' di memoria
soprattutto nel caso di tensori di rango 1 dato che obbliga ad
usare una lunghezza dispari quasi doppia del necessario. Ma attualmente,
con l'enorme disponibilità di memoria a disposizione, a mio
parere dovrebbe prevalere l'apprezzamento della semplicità
del metodo di poter caratterizzare un qualsiasi tensore
solo in base alla lunghezza della lista dei suoi elementi.
sperimenta la ricerca della lunghezza minima...
...
sperimenta l'individuazione della base e del rango...
...
altra prova in casi in cui la lunghezza
usata non è la minima ammissibile per un dato tipo di tensore...
...
In Javascript uso queste due funzioni:
function mindimor(base,rango){
var hh,nt,pb;
var ba=Math.round(base),
ra=Math.round(rango);
if(2>ba || 1>ra) return 2;
if(1==ra)return (2*ba-1);
pb=Math.pow(2,ra-1);
nt=Math.pow(ba,ra);
hh=nt-nt%pb;
return (hh+pb*(1+(hh/pb)%2));
}
//
// Non uso questa ma...
// Come mindimor ma senza il vincolo di usare
// la potenza di 2 per consevare l'info del
// rango del tensore.
//
function tensolungo(base,rango,primo){
var mm;
var ba=Math.round(base),
ra=Math.round(rango),
pr=Math.max(2,Math.round(primo));
if(2>ba || 1>ra) return 2;
if(ra==1){mm=ba+1+Math.floor(ba/(pr-1));}
else{
mm=Math.pow(pr,ra-1)*
Math.ceil(Math.pow(ba,ra)/Math.pow(pr,ra-1));
if(mm%(Math.pow(pr,ra))==0)mm+=Math.pow(pr,ra-1);}
return mm;
}
//
function baserango(lungo){
var j,ba=1,pd=1,ra=0,lu=Math.round(lungo);
if(3>lu)return [2,ba,ra];
for(j=0;lu>j;j++){ra++;
pd=2*pd;if(lu%pd!=0)break;}
if(pd==2)ba=(lu+1)/2;
else if(pd==2*lu){ba=2;ra=ra-2;}
else for(j=0;lu>j;j++){ba++;
if(Math.pow(ba+1,ra)>lu)break;}
return [lu,ba,ra];
}
Effettuare una permutazione specificata da un solo numero intero
Assumo come convenzione che una qualsiasi lista possa essere
trattata come un tensore di rango e ordine determinati
dalla lunghezza della lista stessa secondo le regole messe a punto qui
sopra....
La lista non deve essere tanto lunga o di lunghezza
scorretta da produrre errori nel calcolo del rango
e dell'ordine.
Ovviamente sarebbe illogico, perché dispendioso, usare
liste più lunghe del necessario per cui il rischio di
fraintendere il rango e l'ordine del tensore è piccolo...
Altra regola motivata da considerazione di traducibità
degli algoritmi è il cercare di non usare mai,
se esiste, l'elemento 0 della lista. Si ottiene questo memorizzando
i dati del tensore in modo che l'ultimo dato sia anche
l'ultimo elemento della lista. Quando si vuole, con questa regola,
basta usare per scopi di commento uno degli elementi ridondanti
della lista, causato dalla regola assunta per determinare il rango e l'ordine
del tensore. Se si vuole, si può
usare l'elemento 0 nei linguaggi di programmazione in cui esiste (
Javascript, C++ etc.) ma già questa scelta provoca
qualche problema di traduzione delle function
nei linguaggi in cui
la numerazione della lista parte da 1 (Mathematichese,
Maximese, Fortran etc..) per cui ... meglio non usare mai
l'elemento zero della lista che potrebbe in certi ambienti non esistere.
Impostazione orientata agli oggetti: un tensore di rango due
è un vettore di vettori, un tensore di rango tre è un vettore di vettori di vettori,
un tensore di rango quattro è un vettore di vettori di vettori di vettori ... etc.
Con questa impostazione, possibile praticamente
in tutti i linguaggi di programmazione moderni, a partire dal C++, ( in informatica
è detta impostazione orientata
agli oggetti ) ogni tensore diventa una specie di matrioska russahttp://en.wikipedia.org/wiki/Matryoshka_doll o, meglio,
un insieme di scatole cinesihttp://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_boxes e
le funzioni si possono semplificare rendendole ricorsive ossia una funzione
può richiamare se stessa con argomenti dedicati ad una parte degli
argomenti della funzione che utilizza se stessa...
In xpermuta
gli argomenti sono: numeropermutazione, base, rango.
Normalmente il numero della permutazione ha tante cifre quanto il numero del rango.
...
I dati del tensore sempre il più in fondo possibile nella
lista sovradimensionata che lo contiene
In Javascript uso queste due funzioni:
// Assegnato l'intero ki e nota la base ba e il rango ra
// calcola il vettore che esprime il numero ki con ra cifre
// usando la base ba.
// Se ba==10 e ra==3 allora 573 diventerebbe ["...",5,7,3]
// ossia la prima cifra rappresenta la potenza maggiore e
// l'ultima la potenza zero.
//
function indici(ki,ba,ra){
var k,kk=ki;
var vj=new Array(ra+1);
for(k=0;ra>k;k++){
vj[ra-k]=kk%ba
kk=(kk-vj[ra-k])/ba;
}
vj[0]=" Base "+ba+") ";
return vj;
}
//
// Dato il vettore degli indici ind ed il vettore della
// permutazione vxp, calcola la nuova posizione come un intero.
//
function indove(indici,vxp,ba){
var h,ii=0;
if(indici.length!=vxp.length)return -1;
for(h=1;indici.length>h;h++){
ii=ba*ii+indici[vxp[h]];
}
return ii;
}
//
// Calcola la permutazione del tensore di base e rango
// assegnati e usando il numero nsv per definire la permutazione.
//
function xpermuta(nsv,base,rango){
var j,kk,vip,ni,nn=Math.pow(base,rango);
// Quanto deve essere lunga la lista.
var dove,lungo=mindimor(base,rango);
// Trova la vera permutazione indicata da nsv
var veraper=ossiapermuta(nsv,rango);
vip=new Array(lungo);
vip[0]="{"+veraper[2]+"} ";
dove=lungo-nn;
for(j=1;dove>j;j++)vip[j]=" ";
for(j=0;nn>j;j++){
// Esprime le cifre di j come un vettore
ni=indici(j,base,rango);
// Dove deve prendere il j_esimo dato.
kk=indove(ni,veraper[2],base);
vip[j+dove]=kk+dove;
}
return vip;
}
Avendo calcolato la lista degli indici di un dato tipo
di permutazione di un dato tipo di tensore posso permutare
qualsiasi tensore dello stesso tipo usando la lista precalcolata.
per cui, mano a mano che si alloca memoria per la lista che deve contenere il nuovo
tensore, si va a prendere il giusto elemento che deve occupare la j_esima posizione
nella lista e il tensore è memorizzato in modo
che il suo ultimo elemento sia anche l'ultimo elemento della lista di
lunghezza minima per memorizzare il tensore secondo le regole prefissate.
In indici
gli argomenti sono la posizione della lista partendo
da 0, la base usata e il numero di cifre che corrisponde al rango del tensore a
cui ci si riferisce.
...
In indove(...)
gli argomenti sono i seguenti: il primo è la lista degli indici del tensore, il secondo
è la lista della permutazione voluta ( enumera le posizioni
degli indici da 1 al rango essendo 1,2,..,rango la permutazione
identità ossia senza spostamenti dei dati ) e il terzo è la base ossia le dimensioni
dello spazio in cui viene usato il tensore. Notare che le due liste dei due primi argomenti
debbono avere uguale lunghezza. Notare che il primo indice del
tensore è quello che gira più lentamente e l'ultimo indice è
quello che varia più velocemente ossia individua elementi contigui nella
lista che contiene il tensore.
...
Qui si fa un controllo di come e se si ottiene
la posizione originaria nella lista quando si fa la permutazione identica ( 12 o 123 o 1234 etc.
a seconda del rango del tensore ossia vettore di vettore, vettore di vettore di vettore etc. ).
La funzione acasot(base,rango) genera tensori di ordine base
e di rango rango. Dato che la lista che contiene il tensore
può essere molto lunga, consiglio di ridefinire la variabile
non_oltre ma poi di riassegnarle un valore ragionevole, come 25 o
poco di più.
Risultato
►
...nessun calcolo ancora fatto...
Qui fare esperimenti sull'uso di xpermuta(sv,base,rango) che, a sua volta
fa uso di mindimor(base,rango),
ossiapermuta(sv,rango),
indici(j,base,rango),
indici(vind,veraper,base).
Inoltre mette alla prova la permutazione effettuata applicandola ad un tensore
creato a caso...
Risultato
►
...nessun calcolo ancora fatto...
Altri esperimenti sull'uso di xpermuta(sv,base,rango)
che mette alla prova la permutazione effettuata applicandola ad un tensore
creato a caso...
Risultato
►
...nessun calcolo ancora fatto...
Altri esperimenti sull'uso di xpermuta(sv,base,rango)
facendo permutazioni circolari su tensori di rango tre per cui alla
terza permutazione si deve ottenere quella di partenza
Risultato
►
...nessun calcolo ancora fatto...
Altri esperimenti sull'uso di xpermuta(sv,base,rango)
facendo permutazioni circolari su tensori di rango quattro per cui alla
quarta permutazione si deve ottenere quella di partenza
