Qui uso per tracciare la traiettoria, l'anomalia eccentrica : http://www.elegio.it/svg/ellisse.html

Pagine utili varie :http://www.elegio.it/calcolatrice/archivio-utili-201308.html#n004

Qui spiego il moto ellittico ma uso l'anomalia eccentrica per disegnare la traiettoria : http://www.elegio.it/mc2/moto-ellittico-201308.html

Bisogna cliccare varie volte sul tasto "vai avanti !". Lo spostamento del periastro è poco vistoso e si evidenzia facendo molti passi mentre lo spostamento dell' apoastro è vistosissimo e fa capire se avviene nello stesso senso con cui l'asteroide ruota attorno all'astro o se avviene in senso contrario ( come non succede nella realtà del sistema solare ).

Formule che ho usato

Ho usato la espressione della ellisse in coordinate polari con l'astro posto nell'origine delle coordinate e poi, per fare il disegno, ho trasformato le due coordinate polari ossia il raggio e l'angolo di rotazione, esprimendole in coordinate cartesiane.

ν = 2·π·tP ;
ψ = ν + ( 1 √1 − e_c² − 1 )·sin(2·ν)2 ;
r̿ = a·( 1 − e_c² ) 1 − e_c·cos(ψ) ;
x̿ = r̿ ·cos(ψ) − 2·a·e_c ;
y̿ = r̿ ·sin(ψ)  ;
r = √ x̿ ² + y̿ ² ;
x = cos(α·ν)·x̿ + sin(α·ν)·y̿ ;
y = cos(α·ν)·y̿ − sin(α·ν)·x̿ ;

Ho usato i simboli soliti ossia a è il semiasse maggiore, e_c è l'eccentricità ossia un numero non negativo ma minore di 1, t è il tempo, P è il Periodo di rivoluzione ossia, per la Terra, circa 365.2564 giorni ( l'anno misurato da chi ci guardasse dalle stelle lontane ossia http://it.wikipedia.org/wiki/Anno_siderale ), r è la distanza dall'origine dove sta l'astro, ψ è l'angolo di rotazione che, in gergo, viene chiamato anomalia vera ed infine α è il coefficiente che provoca la precessione dell'ellisse e che, dunque, nel modello newtoniano classico dovrebbe essere α=0.

La spiegazione dell'uso delle quantità ausiliarie r̿ , x̿ e y̿ è la seguente:

Approssimare l'anomalia vera ossia usando ν considerandola solo proporzionale al tempo t ossia non usando ψ è una approssimazione pessima, neppure accettabile in ambito grafico perché con questa approssimazione, che equivale a usare una velocità angolare costante, si nota che l'asteroide si muove più lentamente quando si trova al periastro ossia nel punto più vicino all'astro e si muove con massima velocità quando sta all'apoastro ossia nel punto più lontano dall'astro.

Questo è il contario di quello che dovrebbe accadere, dato che, vicino all'astro la forza attrattiva è alta e quindi la velocità dovrebbe essere maggiore di quando l'asteroide è lontano o lontanissimo dall'astro, dove sente una debole forza attrattiva e quindi si muove lentamente.

Il metodo usato è stato innanzi tutto il fare girare a velocità angolare costante l'asteroide NON attorno al fuoco dell'ellisse occupato dall'astro ma attorno all'altro fuoco e poi, ovviamente, applicare una traslazione delle ascisse per fare in modo che l'origine non sia il fuoco dove l'astro non c'è ma il fuoco dove sta l'astro.

Si tratta di un trucco molto semplice, come si può vedere dalle formule necessarie per attuarlo, ma è un trucco importante per approssimare nei disegni, ossia a livello solo qualitativo, il moto naturale dell'asteroide soggetto alla legge di gravitazione newtoniana.

Usando l'antifuoco ed usando per l'anomalia vera l'espressione data da ψ consente di ottenere sempre, per qualsiasi valore dell'eccentricità e_c l'esatto valore della velocità al periastro e all'apoastro.

Tuttavia questa approssimazione sarebbe non fisica per valori della eccentricità maggiori di 0.55 perché in questo caso la velocità massima non si verificherebbe al periastro ma un po' prima e un po' dopo e la velocità minima non si verificherebbe all'apoastro ma un po' prima e un po' dopo. Resta il fatto che questa incongruenza, dal punto di vista grafico, sarebbe quasi impercettibile.

Poi la lenta rotazione dell'ellisse ossia la sua precessione viene ottenuta con una appropriata rotazione dell'intera ellisse attorno al fuoco occupato dall'astro.