Giampaolo Bottoni: 20090424
In rete: www.elegio.it/mc2/maxwell-generale.html
Vedere anche: www.elegio.it/mc2/Ricci-Riemann.html

Equazioni di Maxwell in spazi curvi

Il tensore del campo elettromagnetico F_a,b è un tensore antisimmetrico che soddisfa alle seguenti equazioni differenziali (notare il dettaglio : per evidenziare le operazioni di contrazione quando saturo indici uso i caratteri i,j,k,m... mentre per gli indici non saturati uso i primi caratteri dell'alfabeto ossia a,b,c,d... ) :

[1]

F_a,b = − F_b,a
F_a,b:c + F_b,c:a + F_c,a:b = 0
F ^a,i_:i = μ₀·j ^a

Approfondimenti

Si è qui usato il Sistema Internazionale per cui μ₀ è detta la permeabilità magnetica del vuoto e vale esattamente:
μ₀ = 4·π/10⁷ ≈ 1.2566370614359e−6
mentre con j ^a si è indicato il vettore controvariante della quadricorrente.

Il campo elettromagnetico può essere considerato ottenuto derivando opportunamente un vettore, detto vettore quadripotenziale A_a, secondo la formula:

[2]

F_a,b = A_b:a − A_a:b
L'arbitrarietà della scelta del vettore quadripotenziale viene normalmente limitata imponendo la così detta condizione di gauge di Lorentz ossia la seguente condizione di calibrazione:

[3]

Aⁱ_:i = 0
Si può semplificare questa equazione utilizzando, in luogo della derivata covariante ( indicata dal simbolo ":" anteposto all'indice ), la derivata ordinaria ( indicata dal simbolo "/" anteposto all'indice ) utilizzando il modulo del determinante del tensore metrico covariante ossia |g|. Vedere in www.elegio.it/mc2/Ricci-Riemann.html l'espressione della divergenza di un vettore. La condizione di calibrazione applicata a qualunque sistema di coordinate curvilinee diventa:

[3a]

( |g|^½ · Aⁱ) _/i = 0
o, se si preferisce:

[3b]

2 ·Aⁱ_/i + (log(|g|))_/i·Aⁱ = 0
L'espressione [2] si basa sulla derivata covariante e dunque è manifestamente una equazione tensoriale, tuttavia è facile vedere che non risulta necessario calcolare i simboli di Christoffel per cui basta usare la derivata ordinaria. Se infatti scriviamo l'espressione della derivata covariante di un vettore covariante abbiamo:

[4]

A_a:b = A_a/b − Γⁱ_,a,b·A_i
A_b:a = A_b/a − Γⁱ_,b,a·A_i
ed essendo Γⁱ_,a,b = Γⁱ_,b,a è facile vedere che le equazioni di Maxwell assumono la seguente forma decisamente più semplice:

[5]

F_a,b = A_b/a − A_a/b
F ^a,i_:i = μ₀·j ^a
Con un ulteriore ritocco è possibile evitare l'uso esplicito dei simboli di Christoffel. Infatti la divergenza di un tensore doppio antisimmetrico E ^a,b = − E ^b,a , detto |g| il valore assoluto del determinante del tensore metrico, vale :

[6]

E ^a,i_:i = |g|^−½ ·( E ^a,i·|g|^½ )_/i
Pertanto le equazioni di Maxwell possono essere scritte anche nel seguente modo:

[7]

F_a,b = A_b/a − A_a/b
( |g|^½ · F ^a,i )_/i = μ₀·|g|^½ ·j ^a
Questa formula ha una notevole rilevanza pratica per chi voglia usare coordinate curvilinee anche limitandosi a considerare spazi pseudoeuclidei. Anche se poco esperti di calcolo tensoriale bisogna comunque sapere come alzare o abbassare gli indici ossia come passare da vettori o tensori covarianti ai corrispondenti vettori controvarianti o viceversa. Nel caso specifico bisogna sapere calcolare:

[8]

F^a,b = g^a,i·g^b,k·F_i,k
Dove g^a,b è il tensore metrico in forma controvariante ossia la matrice inversa del tensore metrico g_a,b in forma covariante. Calcolare a mano l'inversa di una matrice di ordine quattro è ancora umanamente fattibile anche se in questi casi chiunque capisce l'utilità di un calcolatore elettronico piccolo o grande che sia. Il peso computazionale è sopportabile manualmente se il tensore metrico è diagonale perché ovviamente l'inversa di una diagonale si fa invertendo ogni elemento ed il determinante g è il prodotto degli elementi diagonali del tensore covariante. Per avere un tensore metrico diagonale occorre avere un sistema di coordinate ortogonali e questo limita molto la scelta del sistema di coordinate utilizzabile. Ma disponendo di adeguata potenza di calcolo perché limitarsi ai soli sistemi di coordinate ortogonali ? Le formule sono note e... almeno formalmente, semplici.

Un tensore di rilevante interesse pratico, ottenibile quando è noto il tensore elettromagnatico o il quadripotenziale elettromagnetico, è il tensore energia-impulso ( Electromagnetic stress-energy tensor citato, in unità SI, dall' Hobson++ , a pag. 297, formula 12.31 ). Vale:

[9]

T_a,b = − ( g^i,k·F_a,i·F_b,k − g_a,b·F ^i,k·F_i,k /4 )/μ₀
Una proprietà importante di questo tensore simmetrico è di avere traccia nulla. Espresso in forma mista innalzando il secondo indice, si ha:

[9a]

T_a^,b = − ( F_a,i·F^b,i − δ_a^,b ·F^i,k·F_i,k /4 )/μ₀
Da questa espressione si deduce immediatamente che:

[9b]

T = T_i^,i = 0
L'equazione del campo gravitazionale nella teoria di Einstein, in forma generale può essere scritta nel seguente modo:

[10]

R_a,b = ( 8·π·G/c⁴ )· ( T·g_a,b/2 − T_a,b )
dove R_a,b è il tensore di Ricci.
Posto per comodità ( essendo G = 6.67428e-11 [m^3/(kg*s^2)] la costante di gravitazione universale e c = 2.99792458e8 [m/s] la velocità della luce ):

[10a]

κ = 8·π·G/c⁴ = 2.07664e-43 [s^2/(kg*m)]
( notare che κ ha le dimensioni dell'inverso di una forza, una forza veramente... cosmica ) si vede che, in presenza del solo campo elettromagnetico, l'equazione di Einstein diventa:

[10b]

R_a,b = − κ·T_a,b
Il fatto che il tensore di Ricci sia così poco influenzato dal tensore energia impulso... non vuol dire che questa dipendenza non esista ! Ovviamente diventa fisicamente sperimentabile a livello astrofisico ma ... esiste ovunque c'è non solo materia ( forma molto concentrata di energia ) ma anche energia, la pur piccola energia di un singolo fotone ( occorre ragiornale alla scala della lunghezza di Planck ossia 1.6e-35 [m] ) ...

Potenziale di Maxwell negli spazi curvi

In assenza di cariche elettriche la divergenza del campo elettromagnetico è nulla ossia:

[11]

F ^a,i_:i = 0
In letteratura questa equazione viene scritta in questo modo perché si ha la tendenza ad esprimere la derivata covariante in forma ...covarante, come viene definita in modo, si potrebbe dire, spontaneo. Nel calcolo tensoriale però è lecito alzare ed abbassare gli indici a piacere avvalendosi del tensore metrico per cui è lecito esprimere la condizione di annullamento della divergenza facendo uso della derivata covariante scritta in forma controvariante. Pertanto posso anche scrivere:

[11a]

F_a,i^:i = 0
Ma il campo elettromagnetico è legato al quadrivettore potenziale elettromagnetico dalla relazione [2] ossia:

 

F_a,b = A_b:a − A_a:b
per cui, in assenza di cariche elettriche si ha:

[12]

A_i:a^:i − A_a:i^:i = 0
A questo punto si consideri la regola di commutazione delle derivate covarianti di un vettore covariante. Entra in gioco il tensore di Riemann ovvero si ha:

[13]

A_a:b:c − A_a:c:b = A^k·R_k,a,b,c = A_k·R^k_,a,b,c
Procedendo...molto lentamente... alzo l'indice c ed ottengo dunque:

[13a]

A_a:b^:c − A_a^:c_:b = A^k·R_k,a,b^,c
Contraendo a con c ( e indicando con i l'indice da contrarre) si ha:

[13b]

A_i:b^:i − A_i^:i_:b = A^k·R_k,i,b^,i
Ma la contrazione del tensore di Riemann produce o il tensore identicamente nullo o il tensore di Ricci ( a meno del segno ). In particolare si ha:

[13c]

R_k,i,b^,i = − R_k,b
e dunque:

[13b]

A_i:b^:i − A_i^:i_:b = − A^k·R_k,b
Se utilizziamo questa relazione nella [12] otteniamo:

[14]

A_i^:i_:a − A^k·R_k,a − A_a:i^:i = 0
A questo punto teniamo presente che il quadrivettore potenziale elettromagnetico deve anche soddisfare la condizione di calibrazione di Lorentz per cui Aⁱ_:i = A_i^:i = 0 e pertanto il primo termine scompare per cui si ha:

[15]

A_a:i^:i = − Aⁱ·R_i,a
Studiando il moto di un singolo fotone, anche in presenza di un grosso campo gravitazionale, possiamo sempre trasformare la metrica in modo che, localmente, ossia dove sta il fotone, lo spazio sia piatto ovvero pseudoeuclideo.... attorno al fotone stesso. Il fotone però, per il solo fatto di possedere energia ossia di avere un tensore energia impulso non nullo, incurva lo spazio secondo la legge di Einstein per cui, applicando la [10b] si ha questa equazione non lineare:

[16]

A_a:i^:i = κ·Aⁱ·T_i,a
Se trascuriamo il termine a secondo membro, vista la piccolezza della costante κ otteniamo la solita, classica equazione d'onda ossia il l'Alembertiano del potenziale vettore vale zero.
Se però trattiamo rigorosamente questa equazione abbiamo un sistema di equazioni non lineari la cui non linearità è però ristretta attorno all'onda fotonica e sorge allora una ovvia domanda: quali saranno le soluzioni rigorose di questa equazione ed esisteranno soluzioni solitoniche ?