Convenzioni tensoriali (200902)

0 : indice covariante ( ossia scritto in basso, un pedice )
1 : indice controvariante ( ossia scritto in alto, un apice )
2 : derivata ordinaria ( totale o parziale) pseudo_covariante: (d/ds) o (/t)
3 : derivata ordinaria pseudo_controvariante ( ottenuta tramite il tensore metrico )
4 : derivata covariante tensoriale ( usando i simboli di Christoffel )
5 : derivata tensoriale controvariante ( ottenuta tramite il tensore metrico )

Dunque i nomi di indici preceduti da 0,2,4 ossia le cifre pari, specificano indici che stanno in basso ( pedici ) mentre i nomi di indici preceduti da 1,3,5 ossia le cifre dispari, specificano indici che stanno in alto ( apici ).
Dato che le cifre rappresentano iniziali di nomi di indici, i nomi possono essere multicarattere ma solo alfabetici ossia composti da soli caratteri alfabetici a parte la cifra iniziale del nome dell'indice.
Salvo diverso avviso, t usato da indice indica 0 o 4, x indica 1, y indica 2 e z indica 3. Gli indici inizianti con una maiuscola indicano valori numerici (specificati a parte) e, in caso di derivate (cifre 2..5), indicano derivata totale rispetto alla variabile che possiede quel nome ( eventualmente senza distinzione tra maiuscole e minuscole ).

Qualche esempio

g0i0k , g1i1k == gik , gik ;( rappresenta il tensore metrico in forma covariante, indici in basso o controvariante, indici in alto )

Ch1i0j0k == Γ ijk ;( il simbolo di Christoffel di seconda specie ; Ch0i0j0k == Γ ijk quello di prima specie )

A0i4k = A0i2k - Ch1m0i0k*A0m == k·Ai = k·Ai − Γ mik·Am ;( la derivata covariante di un vettore covariante )

A1i4k = A1i2k + Ch1i0m0k*A1m == k·Ai = k·Ai + Γ imk·Am ;( la derivata covariante di un vettore controvariante )

A1i2S = A1i2m*x1m2S == S·Ai = m·Ai ·S·xm ;( derivata totale ordinaria di un vettore controvariante Ai assumendo che le coordinate xi siano funzioni del parametro indipendente S; solitamente si pone   u1i = x1i2S   ossia   ui = S·xi )

A1i4S = A1i2S + Ch1i0m0h*A1m*x1h2S == S·Ai = S·Ai + Γ imh·Am ·S·xh ;( derivata totale covariante di un vettore controvariante Ai rispetto al parametro S; solitamente come Ai si prende ui per avere l'accelerazione tensoriale essendo ui = S·xi ossia la velocitÓ; u1i2S = S·ui   Ŕ l'accelerazione ordinaria, non tensoriale ossia ottenuta senza simboli di Christoffel )

A1i3k = g1h1k*A1i2h == k ·Ai = ghk · h ·Ai ;     A1i5k = g1h1k*A1i4h == k ·Ai = ghk · h ·Ai

Versione 20090223 : In rete