Costruzione eptadecagono

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In onore di Carl Friedrich Gauss, scopritore della possibilitÓ di costruire l'eptadecagono con riga e compasso

Posto α=√(34+2√17) si trova che cos(β) = cos(2 π/17) = ( α3 + 4 α2 − 36 α − 144 + 4 √ ( − 2 α3 + 24 α2 + 40 α − 544 ) ) / 128.
Se si applica questa formula si trova infatti: ...... che differisce solo per gli errori di arrotondamento, dal valore calcolato in modo tradizionale ossia ......

Numeri quasi magici per il diciassettagono

Il lato dell'eptadecagono inscritto in un cerchio di raggio unitario vale con buona approssimazione, 147/400. La distanza tra il primo e il terzo vertice vale, con buona approssimazione, sufficiente per disegnarlo manualmente, 289/400 mentre la distanza tra il primo e il quinto vertice vale, con discreta approssimazione, 539/400.

Il disegno, fatto con grafica vettoriale SVG, Ŕ costruito dinamicamente con istruzioni EcmaScript. Nel seguito riporto i principali passaggi:



  • Disegnamo un cerchio con centro O, origine degli assi, e diciamo V l'intersezione del cerchio con l'asse positivo delle ascisse mentre diciamo A l'intersezione con l'asse positivo delle ordinate.
    Dunque, usando un cerchio di raggio r = , sarÓ V = [, 0] e A = [ 0, ].
  • Il punto V, a fine costruzione sarÓ anche il vertice zeresimo del diciassettagono che avrÓ dunque 17 vertici numerati da V0=V, V1, V2 ...., V15, V16.
  • Sull'asse delle ordinate prendiamo B = [ 0, ] tale che OB sia la quarta parte di OA. Dunque bisezionare il raggio OA e poi bisezionare la metÓ pi¨ prossima ad O: ( OB=OA/4 ).
  • Consideriamo l'angolo OBV [che in gradi vale: ]. Dividiamo OBV in quattro parti ossia bisezione e poi bisezione, e prendiamo il punto C sul segmanto OV in modo che l'angolo OBC [  gradi] sia un quarto dell'angolo OBV [  gradi].
    Il vettore che va da B verso V ha componenti [400,-100] ossia ha norma 100 √17 = ... . Dunque la bisettrice Ŕ un vettore che ha componenti [400,-412.31056256176606]. Occorre fare la bisettrice tra l'asse delle ordinate e questa direzione...
  • Noto C = [ , ] realizziamo un angolo retto con centro in B e lato BC e prendiamo il punto D sul prolungamento del segmento OV in modo che l'angolo DBC[  gradi ] sia la metÓ di un angolo retto; dunque bisezionare l'angolo retto in B e trovare il punto D di incontro della bisettrice con l'asse delle ascisse. In conclusione sarÓ D = [ , 0].
  • Tracciare un cerchio di diametro DV e sia E = [ 0, ] il punto di incontro di tale cerchio col segmento OA.
  • Puntando il compasso in C e con raggio CE trovare i punti F = [, 0] e G = [, 0] di incrocio di tale cerchio con l'asse delle ascisse.
  • Tirare le perpendicolari da F e da G all'asse delle ascisse. Queste perpendicolari incrociano il cerchio con centro O e raggio OV in quattro punti ossia i vertici V3 = [, , V5 = [, , V12 = [, ], e V14 = [, ].
  • La costruzione Ŕ praticamente conclusa. La distanza tra V3 e V5 vale .
  • Dalla bisettrice dell'angolo V3OV5 trovare V4 = [, , e dunque il lato del diciassettagono Ŕ il segmento V3V4 o V4V5 ed Ŕ lungo  ossia, con ottima approssimazione grafica, 147/400 per un raggio unitario.
  • Se poniamo β = 2 π / 17 abbiamo che V3 = [ r cos ( 3 β ), r sin( 3 β )] mentre V4 = [ r cos ( 4 β ), r sin( 4 β )]. Pertanto, con un po' di trigonometria si ha che: sin β = ( V4y V3x − V4x V3y ) / r2 = V1y / r = / r ; analogamente cos β = ( V4x V3x + V4y V3y ) / r2 = V1x / r = / r.
    Per completezza riporto i restanti vertici dedotti da V1.