Calcolo veloce di sn(t), cn(t) e dn(t)
Per un calcolo approssimato ma veloce delle funzioni ellittiche jacobiane si può usare la formula di raddoppio dell'arco. Se indichiamo come parametro di controllo la grandezza:
τ = sn( t , m ) dn( t , m ) / cn( t , m )
si trovano le seguenti relazioni:
sn( 2 t, m ) = 2 τ / ( 1 + τ2 )
cn( 2 t, m ) = ( 1 − τ2 ) / ( 1 + τ2 )
dn( 2 t, m ) = ( 1 + 2 τ2 − 4 m τ2 + τ4 )1/2 / ( 1 + τ2 )
τ( 2 t, m ) = 2 τ ( 1 + 2 τ2 − 4 m τ2 + τ4 )1/2 / ( 1 − τ4 )
Queste formule vanno unite a quella che esprime τ quando t è molto piccolo (qui indicato con ε ). Si ha:
τ( ε, m ) = ε ( 6 − ε2 − 4 m ε2 ) / ( 6 − 3 ε2 )
Dunque, per esempio, assegnato t basta calcolare τ in funzione di t/1024 e poi applicare per dieci volte la formula del raddoppio della variabile indipendente.
Il quarto di periodo delle funzioni ellittiche si indica con K ed è dato dall'integrale:
K (m ) = ∫0..π/2 ( 1 − m sin2(θ ) ) − 1/2 d θ
Il semiperiodo delle funzioni ellittiche si ricava dalla formula:
2 K = π ( 1 + (1/2)2 m ( 1 + (3/4)2 m ( 1 + (5/6)2 m ( 1 + (7/8)2 m ( 1 + ... ) ) ) ) )
Le formule sono tratte dall'Abramowitz-Stegun, Handbook of Mathematical Functions, capitolo 16 realizzato da L.M. Milne-Thomson.