/*
Prove di calcolo tensoriale 
*/

/*
Provo a realizzare un documento wxm per il calcolo di tutte
le grandezze derivate da un assegnato tensore metrico.
In questo caso uso il tensore metrico di Reissner e Nordstrom.
*/

(if atom(lg) then load(ctensor));

init_ctensor();

/*
Definisco una funzione del tutto generica delle coordinate.
*/

rq:x^2+y^2+z^2;

depends(a,[x,y,z]);

/*
La funzione b mi serve solo per semplificare l'input.
*/

b:a/(a-1);

lgmia: matrix (
[ 1-a, 0,0,0 ],
[ 0,-1+b*x^2/rq,b*x*y/rq, b*x*z/rq ],
[ 0,b*x*y/rq,-1+b*y^2/rq,b*y*z/rq ],
[ 0,b*x*z/rq,b*y*z/rq,-1+b*z^2/rq]);

/*
Dichiaro che faccio uso di coordinate cartesiane
*/

ct_coords: [t,x,y,z];

/*
In base alle esigenze della libreria ctensor di cui ho fatto il
load inizializzo il tensore metrico covariante che si deve chiamare lg.
*/

lg:ratsimp(lgmia);

/*
Calcolo la metrica ovvero il tensore metrico controvariante
che deve essere la matrice inversa del tensore metrico 
covariante.
*/

cmetric();

uug:ug$

/*
Cerco di semplificare il piu' possibile l'espressione del
tensore metrico controvariante
*/

ug:ratsimp(uug);

/*
Anche se non serve ora faccio vedere che lg ed ug sono una la matrice 
inversa dell'altra
*/

/*
Ora calcolo i simboli di christoffel di prima e seconda specie 
visualizzandoli tutti. Attenzione alle regole della libreria ctensor che
mette come terzo indice quello che di solito viene scritto come 
primo indice.
*/

christof(all);

/*
Provo a semplificare una delle componenti del simbolo di Christoffel
di seconda specie.
*/

ratsimp(mcs[2,2,2]);

/*
Creo il tensore di Riemann sopprimendo l'output che probabilmente sarebbe
troppo lungo per essere stampato.
*/

riemann(false);

/*
Ora faccio lo stesso calcolando il tensore di Ricci.
*/

ricci(false);

/*
Ora trasformo il tensore di Ricci in matrice.
*/

mat_ricci: ratsimp( matrix(
[ ric[1,1],ric[1,2],ric[1,3],ric[1,4]],
[ ric[2,1],ric[2,2],ric[2,3],ric[2,4]],
[ ric[3,1],ric[3,2],ric[3,3],ric[3,4]],
[ ric[4,1],ric[4,2],ric[4,3],ric[4,4]]))$

/*
Innanzi tutto controllo che i termini non diagonali della
prima riga e colonna siano degli zeri.
*/

forsezeri: [ratsimp(ric[2,1]),ratsimp(ric[3,1]),ratsimp(ric[4,1]),
ratsimp(ric[1,2]),
ratsimp(ric[1,3]),
ratsimp(ric[1,4])];

/*
Controllo che il tensore di ricci e' un tensore simmetrico... come da manuale
ma se uno vuol fare il san Tommaso...
*/

certozeri: [ratsimp(ric[2,3]-ric[3,2]), ratsimp(ric[2,4]-ric[4,2]),
ratsimp(ric[3,4]-ric[4,3]) ];

/*
Questi non sono zeri ma se la funzione a(x,y,z) assume 
dei valori adeguati lo debbono diventare...
Intanto li stampo...
*/

ratsimp(ric[1,1]);

ratsimp(ric[2,2]);

ratsimp(ric[3,3]);

ratsimp(ric[4,4]);

ratsimp(ric[2,3]);

ratsimp(ric[2,4]);

ratsimp(ric[3,4]);

/*
Ora mi preparo a specificare cosa deve valere la funzione a(x,y,z) per fare
in modo che la metrica sia quella di un buco nero neutro ossia sia la metrica
di Schwarzschild.
*/

v0n:2*m/rq^(1/2);

/*
Specifico tutte le derivate di primo e secondo ordine.
*/

vxn:ratsimp(diff(v0n,x));

vyn:ratsimp(diff(v0n,y))$

vzn:ratsimp(diff(v0n,z))$

vxxn:ratsimp(diff(vxn,x));

vyyn:ratsimp(diff(vyn,y))$

vzzn:ratsimp(diff(vzn,z))$

vxyn:ratsimp(diff(vxn,y));

vxzn:ratsimp(diff(vxn,z))$

vyzn:ratsimp(diff(vyn,z))$

/*
Ora sostituisco alle derivate alcuni simboli ossia uso v0, vx, vy, vz, vxx,
vxy, vzz, vxy, vxz, vyz.
Inizio la procedura con ric[1,1]
*/

rics:ratsimp(ric[1,1]);

ric1:ratsimp(subst(vx,diff(a,x),rics))$

ric2:ratsimp(subst(vy,diff(a,y),ric1))$

ric3:ratsimp(subst(vz,diff(a,z),ric2))$

ric4:ratsimp(subst(vxx,diff(a,x,2),ric3))$

ric5:ratsimp(subst(vyy,diff(a,y,2),ric4))$

ric6:ratsimp(subst(vzz,diff(a,z,2),ric5))$

ric7:ratsimp(subst(vxy,diff(diff(a,x),y),ric6))$

ric8:ratsimp(subst(vxz,diff(diff(a,x),z),ric7))$

ric9:ratsimp(subst(vyz,diff(diff(a,y),z),ric8))$

rica:ratsimp(subst(v0,a,ric9));

/*
Ora sostituisco ai simboli le vere funzioni dedotte a partire da v0n.
*/

ric1n:ratsimp(subst(vxn,vx,rica))$

ric2n:ratsimp(subst(vyn,vy,ric1n))$

ric3n:ratsimp(subst(vzn,vz,ric2n))$

ric4n:ratsimp(subst(vxxn,vxx,ric3n))$

ric5n:ratsimp(subst(vyyn,vyy,ric4n))$

ric6n:ratsimp(subst(vzzn,vzz,ric5n))$

ric7n:ratsimp(subst(vxyn,vxy,ric6n))$

ric8n:ratsimp(subst(vxzn,vxz,ric7n))$

ric9n:ratsimp(subst(vyzn,vyz,ric8n))$

rican:ratsimp(subst(v0n,v0,ric9n))$

/*
Ecco il test cruciale: sostituendo e sostituendo alla fine viene zero
o cosa vien fuori ?
*/

ratsimp(rican);

/*
Ripeto tutta la procedura con ric[2,2]
*/

rics:ratsimp(ric[2,2]);

ric1:ratsimp(subst(vx,diff(a,x),rics))$

ric2:ratsimp(subst(vy,diff(a,y),ric1))$

ric3:ratsimp(subst(vz,diff(a,z),ric2))$

ric4:ratsimp(subst(vxx,diff(a,x,2),ric3))$

ric5:ratsimp(subst(vyy,diff(a,y,2),ric4))$

ric6:ratsimp(subst(vzz,diff(a,z,2),ric5))$

ric7:ratsimp(subst(vxy,diff(diff(a,x),y),ric6))$

ric8:ratsimp(subst(vxz,diff(diff(a,x),z),ric7))$

ric9:ratsimp(subst(vyz,diff(diff(a,y),z),ric8))$

rica:ratsimp(subst(v0,a,ric9));

/*
Ora sostituisco ai simboli le vere funzioni dedotte a partire da v0n.
*/

ric1n:ratsimp(subst(vxn,vx,rica))$

ric2n:ratsimp(subst(vyn,vy,ric1n))$

ric3n:ratsimp(subst(vzn,vz,ric2n))$

ric4n:ratsimp(subst(vxxn,vxx,ric3n))$

ric5n:ratsimp(subst(vyyn,vyy,ric4n))$

ric6n:ratsimp(subst(vzzn,vzz,ric5n))$

ric7n:ratsimp(subst(vxyn,vxy,ric6n))$

ric8n:ratsimp(subst(vxzn,vxz,ric7n))$

ric9n:ratsimp(subst(vyzn,vyz,ric8n))$

rican:ratsimp(subst(v0n,v0,ric9n))$

/*
Ecco il test cruciale: sostituendo e sostituendo alla fine viene zero
o cosa vien fuori ?
*/

ratsimp(rican);

/*
Ripeto tutta la procedura con ric[3,3]
*/

rics:ratsimp(ric[3,3]);

ric1:ratsimp(subst(vx,diff(a,x),rics))$

ric2:ratsimp(subst(vy,diff(a,y),ric1))$

ric3:ratsimp(subst(vz,diff(a,z),ric2))$

ric4:ratsimp(subst(vxx,diff(a,x,2),ric3))$

ric5:ratsimp(subst(vyy,diff(a,y,2),ric4))$

ric6:ratsimp(subst(vzz,diff(a,z,2),ric5))$

ric7:ratsimp(subst(vxy,diff(diff(a,x),y),ric6))$

ric8:ratsimp(subst(vxz,diff(diff(a,x),z),ric7))$

ric9:ratsimp(subst(vyz,diff(diff(a,y),z),ric8))$

rica:ratsimp(subst(v0,a,ric9));

/*
Ora sostituisco ai simboli le vere funzioni dedotte a partire da v0n.
*/

ric1n:ratsimp(subst(vxn,vx,rica))$

ric2n:ratsimp(subst(vyn,vy,ric1n))$

ric3n:ratsimp(subst(vzn,vz,ric2n))$

ric4n:ratsimp(subst(vxxn,vxx,ric3n))$

ric5n:ratsimp(subst(vyyn,vyy,ric4n))$

ric6n:ratsimp(subst(vzzn,vzz,ric5n))$

ric7n:ratsimp(subst(vxyn,vxy,ric6n))$

ric8n:ratsimp(subst(vxzn,vxz,ric7n))$

ric9n:ratsimp(subst(vyzn,vyz,ric8n))$

rican:ratsimp(subst(v0n,v0,ric9n))$

/*
Ecco il test cruciale: sostituendo e sostituendo alla fine viene zero
o cosa vien fuori ?
*/

ratsimp(rican);

/*
Ripeto tutta la procedura con ric[4,4]
*/

rics:ratsimp(ric[4,4]);

ric1:ratsimp(subst(vx,diff(a,x),rics))$

ric2:ratsimp(subst(vy,diff(a,y),ric1))$

ric3:ratsimp(subst(vz,diff(a,z),ric2))$

ric4:ratsimp(subst(vxx,diff(a,x,2),ric3))$

ric5:ratsimp(subst(vyy,diff(a,y,2),ric4))$

ric6:ratsimp(subst(vzz,diff(a,z,2),ric5))$

ric7:ratsimp(subst(vxy,diff(diff(a,x),y),ric6))$

ric8:ratsimp(subst(vxz,diff(diff(a,x),z),ric7))$

ric9:ratsimp(subst(vyz,diff(diff(a,y),z),ric8))$

rica:ratsimp(subst(v0,a,ric9));

/*
Ora sostituisco ai simboli le vere funzioni dedotte a partire da v0n.
*/

ric1n:ratsimp(subst(vxn,vx,rica))$

ric2n:ratsimp(subst(vyn,vy,ric1n))$

ric3n:ratsimp(subst(vzn,vz,ric2n))$

ric4n:ratsimp(subst(vxxn,vxx,ric3n))$

ric5n:ratsimp(subst(vyyn,vyy,ric4n))$

ric6n:ratsimp(subst(vzzn,vzz,ric5n))$

ric7n:ratsimp(subst(vxyn,vxy,ric6n))$

ric8n:ratsimp(subst(vxzn,vxz,ric7n))$

ric9n:ratsimp(subst(vyzn,vyz,ric8n))$

rican:ratsimp(subst(v0n,v0,ric9n))$

/*
Ecco il test cruciale: sostituendo e sostituendo alla fine viene zero
o cosa vien fuori ?
*/

ratsimp(rican);

/*
Ora verifico anche i termini NON DIAGONALI che possono essere diversi
da zero se la funzione non possiede le opportune caratteristiche.
*/

rics:ratsimp(ric[2,3]);

ric1:ratsimp(subst(vx,diff(a,x),rics))$

ric2:ratsimp(subst(vy,diff(a,y),ric1))$

ric3:ratsimp(subst(vz,diff(a,z),ric2))$

ric4:ratsimp(subst(vxx,diff(a,x,2),ric3))$

ric5:ratsimp(subst(vyy,diff(a,y,2),ric4))$

ric6:ratsimp(subst(vzz,diff(a,z,2),ric5))$

ric7:ratsimp(subst(vxy,diff(diff(a,x),y),ric6))$

ric8:ratsimp(subst(vxz,diff(diff(a,x),z),ric7))$

ric9:ratsimp(subst(vyz,diff(diff(a,y),z),ric8))$

rica:ratsimp(subst(v0,a,ric9));

/*
Ora sostituisco ai simboli le vere funzioni dedotte a partire da v0n.
*/

ric1n:ratsimp(subst(vxn,vx,rica))$

ric2n:ratsimp(subst(vyn,vy,ric1n))$

ric3n:ratsimp(subst(vzn,vz,ric2n))$

ric4n:ratsimp(subst(vxxn,vxx,ric3n))$

ric5n:ratsimp(subst(vyyn,vyy,ric4n))$

ric6n:ratsimp(subst(vzzn,vzz,ric5n))$

ric7n:ratsimp(subst(vxyn,vxy,ric6n))$

ric8n:ratsimp(subst(vxzn,vxz,ric7n))$

ric9n:ratsimp(subst(vyzn,vyz,ric8n))$

rican:ratsimp(subst(v0n,v0,ric9n))$

/*
Ecco il test cruciale: sostituendo e sostituendo alla fine viene zero
o cosa vien fuori ?
*/

ratsimp(rican);

/*
Verifico anche il termine NON DIAGONALE r[2,4] che puo' essere diverso
da zero se la funzione non possiede le opportune caratteristiche.
*/

rics:ratsimp(ric[2,4]);

ric1:ratsimp(subst(vx,diff(a,x),rics))$

ric2:ratsimp(subst(vy,diff(a,y),ric1))$

ric3:ratsimp(subst(vz,diff(a,z),ric2))$

ric4:ratsimp(subst(vxx,diff(a,x,2),ric3))$

ric5:ratsimp(subst(vyy,diff(a,y,2),ric4))$

ric6:ratsimp(subst(vzz,diff(a,z,2),ric5))$

ric7:ratsimp(subst(vxy,diff(diff(a,x),y),ric6))$

ric8:ratsimp(subst(vxz,diff(diff(a,x),z),ric7))$

ric9:ratsimp(subst(vyz,diff(diff(a,y),z),ric8))$

rica:ratsimp(subst(v0,a,ric9));

/*
Ora sostituisco ai simboli le vere funzioni dedotte a partire da v0n.
*/

ric1n:ratsimp(subst(vxn,vx,rica))$

ric2n:ratsimp(subst(vyn,vy,ric1n))$

ric3n:ratsimp(subst(vzn,vz,ric2n))$

ric4n:ratsimp(subst(vxxn,vxx,ric3n))$

ric5n:ratsimp(subst(vyyn,vyy,ric4n))$

ric6n:ratsimp(subst(vzzn,vzz,ric5n))$

ric7n:ratsimp(subst(vxyn,vxy,ric6n))$

ric8n:ratsimp(subst(vxzn,vxz,ric7n))$

ric9n:ratsimp(subst(vyzn,vyz,ric8n))$

rican:ratsimp(subst(v0n,v0,ric9n))$

/*
Ecco il test cruciale: sostituendo e sostituendo alla fine viene zero
o cosa vien fuori ?
*/

ratsimp(rican);

/*
Ora verifico anche il termine NON DIAGONALE r[3,4] che potrebbe essere diverso
da zero se la funzione non possiede le opportune caratteristiche.
*/

rics:ratsimp(ric[3,4]);

ric1:ratsimp(subst(vx,diff(a,x),rics))$

ric2:ratsimp(subst(vy,diff(a,y),ric1))$

ric3:ratsimp(subst(vz,diff(a,z),ric2))$

ric4:ratsimp(subst(vxx,diff(a,x,2),ric3))$

ric5:ratsimp(subst(vyy,diff(a,y,2),ric4))$

ric6:ratsimp(subst(vzz,diff(a,z,2),ric5))$

ric7:ratsimp(subst(vxy,diff(diff(a,x),y),ric6))$

ric8:ratsimp(subst(vxz,diff(diff(a,x),z),ric7))$

ric9:ratsimp(subst(vyz,diff(diff(a,y),z),ric8))$

rica:ratsimp(subst(v0,a,ric9));

/*
Ora sostituisco ai simboli le vere funzioni dedotte a partire da v0n.
*/

ric1n:ratsimp(subst(vxn,vx,rica))$

ric2n:ratsimp(subst(vyn,vy,ric1n))$

ric3n:ratsimp(subst(vzn,vz,ric2n))$

ric4n:ratsimp(subst(vxxn,vxx,ric3n))$

ric5n:ratsimp(subst(vyyn,vyy,ric4n))$

ric6n:ratsimp(subst(vzzn,vzz,ric5n))$

ric7n:ratsimp(subst(vxyn,vxy,ric6n))$

ric8n:ratsimp(subst(vxzn,vxz,ric7n))$

ric9n:ratsimp(subst(vyzn,vyz,ric8n))$

rican:ratsimp(subst(v0n,v0,ric9n))$

/*
Ecco il test cruciale: sostituendo e sostituendo alla fine viene zero
o cosa vien fuori ?
*/

ratsimp(rican);

/*
Per finire ristampo il tensore metrico covariante che ho usato
per trovare la metrica del buco nero neutro in coordinate
cartesiane.
*/

lg;

/*
E per riepilogo ecco anche il tensore metrico in forma controvariante:
*/

ug;

/*
AMEN
*/