Proprio non riesco a capire il paragrafo 6.9.4 dedicato alla particella interagente ( o almeno alcune cose del paragrafo 6.9.4 del libro di Vincenzo Barone , pag. 240 e pag. 241 ovvero le immagini barone240.jpg e barone241.jpg ).
Perché mai la lagrangiana di interazione Lint, se non dipende esplicitamente da ξ, deve essere una funzione omogenea del primo ordine nella para_velocità vμ ???
Mi sembra che sia un vincolo molto restrittivo e non capisco da cosa dipenda.... se ho capito bene...
Vorrebbe forse dire che, scrivendo esplicitamente, V.B. ipotizza che :

Lint = L0( xγ ) v0 + L1( xγ ) v1 + L2( xγ ) v2 + L3( xγ ) v3 = Lκ vκ

ossia che la lagrangiana di interazione sia il prodotto scalare del vettore Lκ dipendente solo dalla posizione (quindi un insieme di quattro funzioni delle coordinate), moltiplicato per la velocità della particella rispetto al parametro ξ ovvero la para_velocità ...
Ma perché si ipotizza quanto sopra ??? Non è una ipotesi MOLTO restrittiva ????

Trascrivo la [6.189] come posso in HTML ( dove non è facile trovare la fonte per la F arzigogolata usata da V.B. e dove è difficile scrivere frazioni per cui 0.75 viene scritto come 3/4 ).

F μ = ( dξ / ds ) ( ( ∂Lint / ∂ xμ ) − ( d / d ξ )( ∂Lint / ∂ vμ ) )

Si invita il lettore a dimostrare che la F μ ossia la [6.189] è ortogonale alla quadrivelocità u μ.

Tenterei di fare così:
Innanzi tutto noto che se esiste l'ortogonalità rispetto alla quadrivelocità u μ esiste l'ortogonalità anche rispetto alla para_velocità v μ essendo tale para_velocità definita come la derivata della posizione rispetto ad un opportuno parametro ξ. Infatti i due vettori sono tra loro proporzionali:

v μ = ( ds / dξ ) u μ
u μ = ( dξ / ds ) v μ

Il differenziale totale ( d / d ξ ) equivale a:

d / d ξ = v0 ( ∂ / ∂ x0 ) + v1 ( ∂ / ∂ x1 ) + v2 ( ∂ / ∂ x2 ) + v3 ( ∂ / ∂ x3 ) = vβ ( ∂ / ∂ xβ )

Essendo Lint una funzione lineare della para_velocità ( ossia Lint = Lκ vκ ) trovo:

Lint / ∂ xμ = vβ ( ∂ Lβ( xγ ) / ∂ xμ )
Lint / ∂ vμ = Lμ( xγ )
ossia scrivendo in modo super_prolisso:

Lint / ∂ x0 = v0 ( ∂ L0( xγ ) / ∂ x0 ) + v1 ( ∂ L1( xγ ) / ∂ x0 ) + v2 ( ∂ L2( xγ ) / ∂ x0 ) + v3 ( ∂ L3( xγ ) / ∂ x0 )
Lint / ∂ x1 = v0 ( ∂ L0( xγ ) / ∂ x1 ) + v1 ( ∂ L1( xγ ) / ∂ x1 ) + v2 ( ∂ L2( xγ ) / ∂ x1 ) + v3 ( ∂ L3( xγ ) / ∂ x1 )
Lint / ∂ x2 = v0 ( ∂ L0( xγ ) / ∂ x2 ) + v1 ( ∂ L1( xγ ) / ∂ x2 ) + v2 ( ∂ L2( xγ ) / ∂ x2 ) + v3 ( ∂ L3( xγ ) / ∂ x2 )
Lint / ∂ x3 = v0 ( ∂ L0( xγ ) / ∂ x3 ) + v1 ( ∂ L1( xγ ) / ∂ x3 ) + v2 ( ∂ L2( xγ ) / ∂ x3 ) + v3 ( ∂ L3( xγ ) / ∂ x3 )
Lint / ∂ v0 = L0 ( xγ )
Lint / ∂ v1 = L1 ( xγ )
Lint / ∂ v2 = L2 ( xγ )
Lint / ∂ v3 = L3 ( xγ )

Differenziando in modo totale rispetto a ξ le ultime quattro equazioni si ottiene:

( d / d ξ ) ( ∂Lint / ∂ vμ ) = vβ ( ∂ ( Lμ( xγ ) )/ ∂ xβ )

ed queste posso scriverle in modo prolisso:

( d / d ξ ) ( ∂Lint / ∂ vμ ) = v0 ( ∂ ( Lμ( xγ ) )/ ∂ x0 ) + v1 ( ∂ ( Lμ( xγ ) )/ ∂ x1 ) + v2 ( ∂ ( Lμ( xγ ) )/ ∂ x2 ) + v3 ( ∂ ( Lμ( xγ ) )/ ∂ x3 )

Anzi... visto che ci sono, in modo super_prolisso:

( d / d ξ ) ( ∂Lint / ∂ v0 ) = v0 ( ∂ ( L0( xγ ) )/ ∂ x0 ) + v1 ( ∂ ( L0( xγ ) )/ ∂ x1 ) + v2 ( ∂ ( L0( xγ ) )/ ∂ x2 ) + v3 ( ∂ ( L0( xγ ) )/ ∂ x3 )
( d / d ξ ) ( ∂Lint / ∂ v1 ) = v0 ( ∂ ( L1( xγ ) )/ ∂ x0 ) + v1 ( ∂ ( L1( xγ ) )/ ∂ x1 ) + v2 ( ∂ ( L1( xγ ) )/ ∂ x2 ) + v3 ( ∂ ( L1( xγ ) )/ ∂ x3 )
( d / d ξ ) ( ∂Lint / ∂ v2 ) = v0 ( ∂ ( L2( xγ ) )/ ∂ x0 ) + v1 ( ∂ ( L2( xγ ) )/ ∂ x1 ) + v2 ( ∂ ( L2( xγ ) )/ ∂ x2 ) + v3 ( ∂ ( L2( xγ ) )/ ∂ x3 )
( d / d ξ ) ( ∂Lint / ∂ v3 ) = v0 ( ∂ ( L3( xγ ) )/ ∂ x0 ) + v1 ( ∂ ( L3( xγ ) )/ ∂ x1 ) + v2 ( ∂ ( L3( xγ ) )/ ∂ x2 ) + v3 ( ∂ ( L3( xγ ) )/ ∂ x3 )

Se sottraggo ciascuna di queste equazioni a quelle corrispondenti della derivata parziale rispetto alle coordinate e raccolgo i termini moltiplicati dalla stessa componente della para_velocità, scopro che... ho a che fare con un tensore emisimmetrico ... che è definibile come:

Lemiαβ = ( ∂ Lα/ ∂ xβ ) − ( ∂ Lβ/ ∂ xα )

Insomma, trovo che la forza F μ può essere scritta, in modo molto più espressivo, come il prodotto di un tensore emisimmetrico per la para_velocità, ossia:

F μ = Lemiβμ vβ

Ma per pure ragioni algebriche è noto che Lemiβμ vβ vμ = 0 a causa dell'emisimmetria del tensore doppio : Q.E.D. == ( Quod Erat Demonstrandum ).


Insomma... tutto si regge sulla linearità della lagrangiana di interazione rispetto alla para_velocità !!!!
Visto che nell'elettromagnetismo succede proprio questo ossia che il tensore elettromagnetico è emisimmetrico e, moltiplicato per la para_velocità genera la quadriforza di Lorentz, questa situazione mi andrà pur bene nel 99% dei calcoli ...
Ma se questa imposizione, in casi particolari, ossia dovendo modellizzare altri tipi di forza, diversi dalla forza elettromagnetica, non fosse accettabile per ragioni di modellizzazione ? Se la lagrangiana di interazione NON FOSSE lineare nelle para_velocità ????