Proprio non riesco a capire il paragrafo 6.9.4 dedicato
alla particella interagente ( o almeno alcune cose del paragrafo 6.9.4
del libro di Vincenzo Barone ,
pag. 240
e pag. 241
ovvero le immagini barone240.jpg e
barone241.jpg
).
Perché mai la lagrangiana di interazione Lint, se non dipende
esplicitamente da ξ, deve essere una funzione
omogenea del primo ordine nella para_velocità vμ ???
Mi sembra che sia un vincolo molto restrittivo e non capisco da
cosa dipenda.... se ho capito
bene...
Vorrebbe forse dire che, scrivendo esplicitamente, V.B. ipotizza che :
Lint =
L0( xγ ) v0 +
L1( xγ ) v1 +
L2( xγ ) v2 +
L3( xγ ) v3
= Lκ vκ
ossia che la lagrangiana di interazione
sia il prodotto scalare del vettore Lκ
dipendente solo dalla posizione (quindi un insieme di quattro
funzioni delle coordinate), moltiplicato per la velocità della particella
rispetto al parametro ξ ovvero la para_velocità ...
Ma perché si ipotizza quanto sopra ??? Non è una ipotesi MOLTO
restrittiva ????
Trascrivo la [6.189] come posso in HTML ( dove non è facile trovare la
fonte per la F arzigogolata usata da V.B. e dove è difficile scrivere
frazioni per cui 0.75 viene scritto come 3/4 ).
F μ = ( dξ / ds ) ( ( ∂Lint
/ ∂ xμ ) − ( d / d ξ )( ∂Lint
/ ∂ vμ ) )
Si invita il lettore a dimostrare che la F μ ossia la
[6.189] è ortogonale alla quadrivelocità u μ.
Tenterei di fare così:
Innanzi tutto noto che se esiste l'ortogonalità rispetto alla quadrivelocità u μ
esiste l'ortogonalità anche rispetto alla para_velocità v μ essendo
tale para_velocità definita come la derivata della posizione rispetto
ad un opportuno parametro ξ. Infatti i due vettori sono tra loro
proporzionali:
v μ = ( ds / dξ ) u μ
u μ = ( dξ / ds ) v μ
Il differenziale totale ( d / d ξ ) equivale a:
d / d ξ = v0 ( ∂ / ∂ x0 ) +
v1 ( ∂ / ∂ x1 ) +
v2 ( ∂ / ∂ x2 ) +
v3 ( ∂ / ∂ x3 ) =
vβ ( ∂ / ∂ xβ )
Essendo Lint una funzione lineare della para_velocità
( ossia Lint =
Lκ vκ )
trovo:
∂Lint / ∂ xμ =
vβ (
∂ Lβ( xγ )
/ ∂ xμ )
∂Lint / ∂ vμ =
Lμ( xγ )
ossia scrivendo in modo super_prolisso:
∂Lint / ∂ x0 =
v0 (
∂ L0( xγ )
/ ∂ x0 ) +
v1 (
∂ L1( xγ )
/ ∂ x0 ) +
v2 (
∂ L2( xγ )
/ ∂ x0 ) +
v3 (
∂ L3( xγ )
/ ∂ x0 )
∂Lint / ∂ x1 =
v0 (
∂ L0( xγ )
/ ∂ x1 ) +
v1 (
∂ L1( xγ )
/ ∂ x1 ) +
v2 (
∂ L2( xγ )
/ ∂ x1 ) +
v3 (
∂ L3( xγ )
/ ∂ x1 )
∂Lint / ∂ x2 =
v0 (
∂ L0( xγ )
/ ∂ x2 ) +
v1 (
∂ L1( xγ )
/ ∂ x2 ) +
v2 (
∂ L2( xγ )
/ ∂ x2 ) +
v3 (
∂ L3( xγ )
/ ∂ x2 )
∂Lint / ∂ x3 =
v0 (
∂ L0( xγ )
/ ∂ x3 ) +
v1 (
∂ L1( xγ )
/ ∂ x3 ) +
v2 (
∂ L2( xγ )
/ ∂ x3 ) +
v3 (
∂ L3( xγ )
/ ∂ x3 )
∂Lint / ∂ v0 =
L0 ( xγ )
∂Lint / ∂ v1 =
L1 ( xγ )
∂Lint / ∂ v2 =
L2 ( xγ )
∂Lint / ∂ v3 =
L3 ( xγ )
Differenziando in modo totale rispetto a ξ le ultime quattro equazioni
si ottiene:
( d / d ξ ) ( ∂Lint / ∂ vμ ) =
vβ ( ∂ ( Lμ(
xγ ) )/ ∂ xβ )
ed queste posso scriverle in modo prolisso:
( d / d ξ ) ( ∂Lint / ∂ vμ ) =
v0 ( ∂ ( Lμ(
xγ ) )/ ∂ x0 ) +
v1 ( ∂ ( Lμ(
xγ ) )/ ∂ x1 ) +
v2 ( ∂ ( Lμ(
xγ ) )/ ∂ x2 ) +
v3 ( ∂ ( Lμ(
xγ ) )/ ∂ x3 )
Anzi... visto che ci sono, in modo super_prolisso:
( d / d ξ ) ( ∂Lint / ∂ v0 ) =
v0 ( ∂ ( L0(
xγ ) )/ ∂ x0 ) +
v1 ( ∂ ( L0(
xγ ) )/ ∂ x1 ) +
v2 ( ∂ ( L0(
xγ ) )/ ∂ x2 ) +
v3 ( ∂ ( L0(
xγ ) )/ ∂ x3 )
( d / d ξ ) ( ∂Lint / ∂ v1 ) =
v0 ( ∂ ( L1(
xγ ) )/ ∂ x0 ) +
v1 ( ∂ ( L1(
xγ ) )/ ∂ x1 ) +
v2 ( ∂ ( L1(
xγ ) )/ ∂ x2 ) +
v3 ( ∂ ( L1(
xγ ) )/ ∂ x3 )
( d / d ξ ) ( ∂Lint / ∂ v2 ) =
v0 ( ∂ ( L2(
xγ ) )/ ∂ x0 ) +
v1 ( ∂ ( L2(
xγ ) )/ ∂ x1 ) +
v2 ( ∂ ( L2(
xγ ) )/ ∂ x2 ) +
v3 ( ∂ ( L2(
xγ ) )/ ∂ x3 )
( d / d ξ ) ( ∂Lint / ∂ v3 ) =
v0 ( ∂ ( L3(
xγ ) )/ ∂ x0 ) +
v1 ( ∂ ( L3(
xγ ) )/ ∂ x1 ) +
v2 ( ∂ ( L3(
xγ ) )/ ∂ x2 ) +
v3 ( ∂ ( L3(
xγ ) )/ ∂ x3 )
Se sottraggo ciascuna di queste equazioni a quelle corrispondenti della derivata
parziale rispetto alle coordinate e raccolgo i termini moltiplicati
dalla stessa componente della para_velocità, scopro che... ho a che fare con
un tensore emisimmetrico ... che è definibile come:
Lemiαβ =
( ∂ Lα/ ∂ xβ ) −
( ∂ Lβ/ ∂ xα )
Insomma, trovo che la forza F μ può essere scritta, in modo
molto più espressivo, come il prodotto di un tensore emisimmetrico
per la para_velocità, ossia:
F μ = Lemiβμ
vβ
Ma per pure ragioni algebriche è noto che
Lemiβμ
vβ vμ = 0 a causa dell'emisimmetria
del tensore doppio : Q.E.D. == ( Quod Erat Demonstrandum ).
Insomma... tutto si regge sulla linearità della lagrangiana di interazione rispetto
alla para_velocità !!!!
Visto che nell'elettromagnetismo succede proprio
questo ossia che il tensore elettromagnetico è emisimmetrico e, moltiplicato
per la para_velocità genera la quadriforza di Lorentz, questa situazione
mi andrà pur bene nel 99% dei calcoli ...
Ma se questa imposizione, in casi particolari, ossia dovendo modellizzare
altri tipi di forza, diversi dalla forza elettromagnetica, non fosse accettabile
per ragioni di modellizzazione ? Se la lagrangiana di interazione NON FOSSE lineare
nelle para_velocità ????